Задача Лемера+. Сашкины частичные решения. Мнение.

Задача Лемера. Сашкины частичные решения. Частное мнение.
 + по гипотезе Кармайкла.

  Решение для простых и чётных чисел.

Для простых чисел всегда:
k = (n-1) / φ(n) = 1,
где k – целое.
Для чётных чисел k никогда не будет целым при φ(n) - чётное.
.
  Физический смысл функции Эйлера состоит в определении количества чисел, соответствующих заданным критериям, в заданном диапазоне. По определению, при поиске функции Эйлера для натурального числа n, мы ищем, в промежутке от 1 до (n-1) включительно, натуральные числа, не имеющие общих делителей с n, другими словами, меньшие n натуральные взаимно простые с ним числа. По определению простого числа, оно не имеет общих делителей с числами меньше себя (кроме единицы, но которая, по уточнению в определении функции Эйлера, принята взаимно простой ко всем числам). Значит, если мы каким-либо образом определим, что число не имеет общих делителей ни с одним числом в промежутке от 1 до (n-1) включительно, то оно простое. Для простоты понимания некоторых особенностей взаимосвязи функции Эйлера и простых чисел, несколько усложним её написание. Введём функцию z(n), которая подобна по смыслу функции Эйлера, с тем различием, что она равна количеству не взаимно простых с n целых положительных меньших его чисел, определена на множестве целых положительных (натуральных включая ноль) чисел, и значения её лежат в множестве целых положительных (натуральных включая ноль) чисел. Тогда:

 (n-1) = φ(n) + z(n) ,                                                                                            формула(1)

где n – исследуемое число,

φ(n) – количество взаимно простых с n меньших его натуральных чисел,

z(n) – количество остальных, не взаимно простых с n, меньших его натуральных чисел.

  Отсюда:

 φ(n) = (n-1) - z(n)                                                                                               формула(2)

  Данные формулы ничем не противоречат и полностью соответствуют существующей аксиоматике всегда, кроме n=1, но эта проблема соотношения функции Эйлера и аксиом Пеано разрешена уточнением в определении функции Эйлера, что φ(1)=1. По формуле(2) наглядно и предметно видно, что, в соответствии с определением функции Эйлера и определением простого числа, при простом n=p функция z(n)=0, то есть, у простых чисел нет не взаимно простых меньших его натуральных чисел в промежутке от 1 до (n-1) включительно. Более того, только у простого числа z(n)=0, поскольку если z(n)≥1, то у n есть не взаимно простое меньшее его натуральное число в промежутке от 1 до (n-1) включительно, и, значит, n – не является простым числом по определению. функция Эйлера принимает значение равное (n-1) только для простых чисел и никогда для составных, так как это значит, что z(n)=0, а это является признаком простоты числа по определению простых чисел.

  Путём простых преобразований формулы(1), получаем:

(n-1) = φ(n) + z(n)

((n-1) / 2) + ((n-1) / 2) = φ(n)+z(n)

((n-1) / 2) - φ(n) = z(n) - ((n-1) / 2) = у                                                               формула(1.1)

  Обозначим ((n-1)/2)=х, тогда:

х - φ(n) = z(n) – х = у,                                                                                        формула(1.2)

  в более общем виде:

|(х - φ(n))| = |(z(n) – х)| = у,

то есть функции φ(n) и z(n) зеркальны относительно прямой ((n-1) / 2) на величину у.

  Формула:

k φ(n) = (n-1),                                                                                                      формула(3)

  где k – целое,

в том числе, представленная в виде:

k = (n-1) / φ(n),                                                                                                    формула(4)

не даёт достаточно возможностей для поиска решения задачи Лемера не практическим, аналитическим путём.

  Если в формулу(4) подставить формулу(1), то получим:

k = (φ(n) + z(n)) / φ(n) = 1 + (z(n) / φ(n)),                                                            формула(5)

где k – целое число,

φ(n) – всегда чётное,

z(n) – имеет ту же чётность/нечётность, что и (n-1), противоположную n.

 Из формулы(5) видно, что k имеет шанс быть целым, кроме n – простое с z(n)=0, только при:

     1) z(n)≥ φ(n),

2 2) z(n) – чётное, соответственно, n – нечётное, так как результат деления может быть целым только если числитель равен нулю либо не меньше знаменателя. Ведь, если числитель не равен нулю или знаменателю, то, для получения целого частного, чётность/нечётность числителя и знаменателя должны совпадать.

  Для исследованных чётных чисел, кроме n=2, второе условие формулы(5) не выполняется.
  Строго говоря, второе условие формулы(5) утверждает, что k может быть целое число только если чётность n и φ(n) - не совпадают. 

  Выполним простые преобразования формулы(5):

k = 1 + (z(n) / φ(n))

(k - 1) = z(n) / φ(n)                                                                                            формула(5.1)

Формула(5.1) ещё раз наглядно демонстрирует, что, так как φ(n)≠0, то k=1 только для простых чисел с z(n)=0.
.

  Частичное решение для нечётных.

  В зависимости от соотношения составляющих простых множителей, на которые они раскладываются, нечётные числа можно условно разделить на несколько групп, состоящих из:

1) последовательных не повторяющихся простых множителей;

2) не повторяющихся простых множителей;

3) последовательных произвольно повторяющихся простых множителей;

4) произвольно не последовательных произвольно повторяющихся простых множителей.

  Фактически, числа четвёртой условной группы нечётных чисел – произвольные числа без всякой закономерности между составляющими их простыми множителями.

  Насколько я понял, именно числа, входящие в первую условную группу нечётных чисел и начинающиеся с простого множителя 3, начиная с числа n=(3*5*7)=105, исследуют на предмет практического поиска решения задачи Лемера. Для краткости изложения, первую условную группу нечётных чисел, я далее буду называть числами Лемера. Хотя, если рассмотреть механизм формирования функции Эйлера и функции z(n), то становится заметным, что соотношение, баланс больше/меньше, для z(n) и φ(n) зависит от количества простых чисел, меньших n – от плотности расположения простых чисел, на исследуемом числовом отрезке. Признанно, что количество простых чисел бесконечно, а плотность их расположения снижается. Это приводит к тому, что, при прочих равных, чем меньше в промежутке от 1 до (n-1) включительно, простых чисел, не задействованных в построении составного числа n, тем меньше функция Эйлера для числа n и, соответственно, тем больше функция z(n). Следствием этого становится то, что не только числа Лемера, но и часть чисел остальных условных групп нечётных чисел тоже соответствуют первому условию формулы(5). При этом, чем больше простых множителей формируют число Лемера, тем меньший множитель или тем большее их количество можно из него исключить, не нарушая первое условие формулы(5). Например:

1) n = (3*5*7) = 105; φ(n) = 48; z(n) = 56; z(n)≥ φ(n) – число Лемера от 3 до 7, первая условная группа;

2) n = (3*5*11) = 165; φ(n) = 80; z(n) = 84; z(n)≥ φ(n) – число Лемера от 3 до 11 неполное на 7, вторая условная группа;

3) n = (3*5*11*17) = 2804; φ(n) = 1280; z(n) = 1524; z(n)≥ φ(n) – число Лемера от 3 до 17 неполное на 7 и 13, вторая условная группа;

4) n = (3*5*7*7) = 735; φ(n) = 336; z(n) = 398; z(n)≥ φ(n) – число Лемера от 3 до 7 с удвоенной 7, третья условная группа;

5) n = (3*5*11*11) = 1815; φ(n) = 880; z(n) = 934; z(n)≥ φ(n) – число Лемера от 3 до 11 неполное на 7 с удвоенной 11, четвёртая условная группа.

  .

  Мнение.

1) Для поиска практического решения задачи Лемера следует исследовать не только числа Лемера, но и все остальные нечётные числа.

   1.1) Почти сто лет поиска целого решения дроби вида:

k = (n - 1) / φ(n)) = ((p₁ * p₂ * … * p_i) - 1) / ((p₁ - 1) * (p₂ - 1) * … * (p_i - 1))          формула(6)

могли бы быть веским основанием для признания того, что дробь, у которой в числителе от произведения последовательных простых чисел отнята единица, а в знаменателе произведение разниц этих же последовательных простых чисел минус единица, не имеет целого решения.
 1.2) Доказательство для чисел Лемера:

  Если просмотреть стандартную таблицу умножения, размещаемую на последней странице обложки школьных тетрадок в клетку, то можно практически убедиться, что произведения нечётных чисел являются только нечётными, и заканчиваются на 1, 3, 5, 7, 9. При этом если в составляющих простых множителях нечётного числа n есть пятёрка, то последняя цифра такого числа будет всегда строго и только 5. Что приводит к тому, что для любого числа, применяемого сейчас для поиска практического решения задачи Лемера, то есть числа n, состоящего из произведения последовательных простых множителей, начиная с 3, (n-1)=m всегда будет заканчиваться четвёркой и только четвёркой, вне зависимости ни от чего. Что однозначно и категорически подтверждает отсутствие в числе составляющих простых множителей полученного чётного числителя m формулы(4), где m=(n-1), пятёрок, ведь все чётные числа, в состав простых множителей которых входят пятёрки, заканчиваются нулём. Всегда и без исключений. В свою очередь, значения функции Эйлера для всех составляющих простых множителей числа n, заканчивающихся на единицу, например, 11, 31 и т.д., будут оканчиваться нулём в силу того, что φ(p)=(p-1). И чем больше таких простых p, заканчивающихся на единицу, в составе числа n, тем больше нулей в знаменателе дроби формулы(4), она же формула(6). Однозначно, что числитель,  не содержащий пятёрок в числе составляющих простых множителей, никогда не разделится нацело на знаменатель с пятёрками в составе. Никогда, не зависимо от количества лет, средств и сил, потраченных на поиск такого целого k, и учёных степеней и званий ищущих.

  Только одно исключение из числа составляющих множителей числа n пятёрки не приведёт к автоматическому доказательству существования целого k. Для появления возможности нахождения целого k необходимо подбирать составляющие простые множители числа n, а не брать все подряд последовательные простые числа. 

2) Для снижения вычислительной сложности процесса поиска практического решения задачи Лемера возможно отказаться от выполнения вычислительно сложного деления больших чисел

k = (n - 1) / φ(n),

и ограничиться поиском φ(n) для исследуемых чисел, с последующим размещением полученного значения на графике значений функции Эйлера, на котором проведены прямые (n-1)/a, где a – последовательные натуральные числа. Если какое-либо φ(n) окажется расположенным на такой прямой, то это и будет искомое решение, где a= k=(n-1)/φ(n).

09.01. – 02.03.2017, 12.03.17.

По гипотезе Кармайкла.

  Как известно, гипотеза Кармайкла состоит в том, что нет такого значения m, которое функция Эйлера принимала бы только один раз. И у меня нет доказательств обратного. Однако, поведение функции Эйлера на участках, где p_i+1>((n-1)/2) и где p_i+1>(n-1), даёт основания для допущения, что на их протяжении могут быть такие значения, которое функция Эйлера принимала бы только один раз.

  Участок p_i+1>((n-1)/2).

  Значения функции Эйлера для чётных чисел вида n=(2*3*5*…*p_i), далее чётные числа Лемера, этого числового участка, будут принимать значения, равные количеству простых чисел на числовом отрезке от ((n-1)/2) до (n-1), плюс единица, то есть:

φ(n)=P+1,

  где P – количество элементов в множестве всех простых чисел: pϵP при ((n-1)/2)<p<(n).

  Учитывая отсутствие возможности прогнозирования количества простых чисел на числовом отрезке от ((n-1)/2) до (n-1), и отсутствие статистических данных,, а также с учетом леммы, доказательство которой приводится здесь же в блоге в статье "Про простые проблемы Ландау", предположение, что P может быть чётным, вследствие чего φ(n) примет нечётное значение, является допустимым. Более-менее уверенно можно только предположить, что если плотность расположения простых чисел не перестанет снижаться, то значение функции Эйлера для последующих чётных чисел Лемера, этого числового участка, будет меньше, чем для предыдущих.

  Значения функции Эйлера для чисел Лемера, для данного участка, скорее всего, будут продолжать соответствовать существующим представлениям и правилам, и останутся чётными. Либо не будут продолжать, и будут принимать, в том числе, и нечётные значения. Однозначного предположения у меня нет. Равно как и по поводу значений функции Эйлера для всех прочих чисел на данном числовом участке. Но допущение, что значения функции Эйлера, не для чисел вида n=(2*3*5*…*p_i), на этом числовом участке, будут иметь нечётные значения, снижает вероятность уникальности и неповторимости её нечётных значений для чётных чисел Лемера.

  Участок p_i+1>(n-1).

    Значения функции Эйлера для чётных чисел вида n=(2*3*5*…*p_i), этого числового участка, будут равны единице. Так как в промежутке от 1 до (n-1) включительно не останется простых чисел, кроме единицы, не являющихся составляющими простыми множителями данного числа.

  Для чисел Лемера значения функции Эйлера на этом участке будут равны количеству чисел являющихся степенью числа 2, начиная с единицы, и будут возрастать для каждого последующего числа относительно предыдущего, то есть не повторяются для данной условной группы чисел на данном числовом участке:

φ(n)=L,

  где L – количество элементов в множестве всех чисел, являющихся числом 2 в степени a, при a – целое положительное (натуральное включая ноль): lϵL при 0<l<(n).

  Учитывая отсутствие возможности прогнозирования количества чисел, являющихся степенью числа два, включая единицу, на числовом отрезке от 1 до (n-1) включительно, и отсутствие статистических данных, предположение, что L может быть нечётным, вследствие чего φ(n) примет нечётное значение, является допустимым.

  Однозначного предположения по поводу значений функции Эйлера для всех прочих чисел на данном числовом участке у меня нет. Однако, вышеизложенное позволяет определить набор условий, при котором функция Эйлера принимала бы некоторые значения только один раз:

1) поведение функции Эйлера для всех прочих чисел остаётся неизменным и принимает только чётные значения;

2) значения функции Эйлера для чётных чисел Лемера на участке p_i+1>((n-1)/2) могут принимать нечётные значения и имеют тенденцию к уменьшению с ростом n, чем ограничивается максимальное нечётное значение функции Эйлера для данных чисел;

3) значения функции Эйлера для чисел Лемера на участке p_i+1>(n-1) могут принимать нечётные значения и возрастают для каждого последующего числа относительно предыдущего, то есть не повторяются;

4) из-за ограничения максимального нечётного значения функции Эйлера для чётных чисел Лемера на участке p_i+1>((n-1)/2), нечётные значения функции Эйлера для чисел Лемера на участке p_i+1>((n-1)/2) превысят максимальные нечётные значения функции Эйлера для чётных чисел Лемера на участке p_i+1>((n-1)/2). Что сделает их уникальными и неповторимыми.

09.03.2017.